Matematika

 
BAB I - BILANGAN BERPANGKAT DUA BENTUK AKAR
1.Bilangan Berpangkat
Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2d
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut. 
 
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m + n} 
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³ 
Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3} 
Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 3^{4 x 2}

Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³ 
Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

  
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n = ¹/_2ⁿ , secara umum dapat ditulis :

 
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat. 
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini! 
 (¹/₂)⁵
Jawab :
 

BAB II - BENTUK AKAR
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain? 
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional. 
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0 
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^mdapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

Contoh :
 

Jawab :

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

 
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku 

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

 
Jawab : 



BAB III - BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL

Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.




BAB IV - POLA BILANGAN

Pola Bilangan Dalam Matematika

Berawal dari tugas matematika di sekolah oleh guru matemtika yang memberi tugas untuk mencari pola – pola bilangan matematika, maka pada kesempatan kali ini saya akan membagikan beberapa jenis pola bilangan matematika. Tanpa panjang lebar, langsung saja kita ke pembahasannya.

Pola bilangan ganjil

• Pola bilangan ganjil memiliki pola 1, 3, 5, 7, 9 ….
• Barisan bilangan ganjil adalah 1,3, 5, 7, 9, …
• Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….
• Rumus mencari suku ke ke-n adalah Un = 2n – 1
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n2
• Berikut adalah gambar pola dari bilangan ganjil
  
  Pola bilangan genap

• Pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, …..
• Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ….
• Deret bilangan genap adalah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …..
• Rumus untuk mencari suku ke-n adalah Un = 2n
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n2 + n
• Gambar pola bilangan genap adalah sebagai berikut

          Pola bilangan segitiga

• Pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
• Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
• Deret bilangan segitiga adalah 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …..
• Rumus mencari suku ke-n adalah Un = ½ n (n + 1 )
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
• Gambar pola bilangan segitiga adalah sebagai berikut
  
  Pola bilangan persegi

• Pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
• Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
• Deret bilangan persegi adalah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……
• Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n2
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
• Gambar pola bilangan persegi adalah sebagai berikut
  
  Pola bilangan persegi panjang                                                                                                   
• Pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
• Barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
• Deret bilangan persegi panjang adalah 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + …..
• Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n ( n + 1 )
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
• Gambar pola bilangan persegi panjang adalah sebagai berikut

         Pola bilangan segitiga pascal

• Rumus mencari jumlah baris ke-n adalah 2n – 1
• Gambar pola bilangan segitiga pascal adalah sebagai berikut

BAB V - BARISAN DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI
Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
Diberikan sebuah barisan aritmetika sebagai berikut:
− 4, −1, 2, 5, 8, .....
Tentukan:
a) suku pertama
b) beda
c) jenis barisan
d) rumus umum suku ke-n kemudian cocokkan rumus dengan suku ketiga
e) suku kesembilan
f) jumlah 12 suku pertama

Pembahasan
a) suku pertama
a = −4

b) beda
b = U₂ − U₁
b = −1 −(−4)
b = 3

c) jenis barisan
Barisan aritmetika naik

d) rumus umum suku ke-n
U_n = a + (n−1) b
U_n = −4 + (n−1) 3
U_n = −4 + 3n − 3
U_n = 3n − 7

Suku ketiga adalah 2, ceck
U_n = 3n − 7
U₃ = 3(3) − 7 = 9 − 7 = 2
Cocok.

e) suku kesembilan
U_n = 3n − 7
U₉ = 3(9) − 7 = 27 − 7 = 20

f) jumlah 12 suku pertama Rumus untuk mencari jumlah suku pertama
-Jika diketahui suku pertama (a) dan suku terakhir yang hendak dihitung gunakan
S_n = ⁿ/₂ (a + U_n)
-Jika diketahui suku pertama dan beda tanpa harus mencari suku terakhir yang hendak dihitung gunakan
S_n = ⁿ/₂ [2a + (n−1)b]

Dengan rumus yang kedua dimana
a = −4
b = 3
n = 12
S_n = ⁿ/₂ [2a + (n−1)b]
S₁₂ = ¹²/₂ [2(−4) + (12−1)3]
S₁₂ = 6 [−8 + 33]
S₁₂ = 6 (25) = 150

Dasar Barisan dan Deret Geometri / Deret Ukur
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut
¹/₂, 1, 2, 4, 8, 16,...
Tentukan:
a) suku pertama deret di atas
b) rasio
c) Rumus suku ke-n setelah itu cocokkan dengan menggunakan suku ketiga
d) jumlah 10 suku pertama dari deret di atas

Pembahasan
a) suku pertama deret di atas
Suku pertama adalah a = ¹/₂

b) rasio
Mencari rasio pada deret geometri dengan membagi suatu suku ke-n dengan suku sebelumnya. Misalkan diambil suku keempat (4), maka dibagi dengan suku ketiga (2)
r = ⁴ / ₂ = 2

c) Rumus suku ke-n setelah itu cocokkan dengan menggunakan suku ketiga
Rumus umum dari deret geometri adalah
U_n = arⁿ⁻¹
Dengan data yang sudah diperoleh di atas maka
U_n = ¹/2(2)ⁿ⁻¹
Cocokkan dengan n = 3
U₃ = ¹/₂(2)³⁻¹
U₃ = ¹/₂(2)²
U₃ = ¹/₂ (4) = 2

d) jumlah 10 suku pertama dari deret di atas
Rumus Umum mencari jumlah hingga n suku



Rumus yang pertama digunakan jika rasio lebih dari 1, rumus kedua jika rasio kurang dari satu. Dengan rumus yang pertama:
n = 10
a = ¹/₂
r = 2





BAB VI - PERBANDINGAN SENILAI DAN BERBALIK NILAI
Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
Diberikan sebuah barisan aritmetika sebagai berikut:
− 4, −1, 2, 5, 8, .....
Tentukan:
a) suku pertama
b) beda
c) jenis barisan
d) rumus umum suku ke-n kemudian cocokkan rumus dengan suku ketiga
e) suku kesembilan
f) jumlah 12 suku pertama

Pembahasan
a) suku pertama
a = −4

b) beda
b = U₂ − U₁
b = −1 −(−4)
b = 3

c) jenis barisan
Barisan aritmetika naik

d) rumus umum suku ke-n
U_n = a + (n−1) b
U_n = −4 + (n−1) 3
U_n = −4 + 3n − 3
U_n = 3n − 7

Suku ketiga adalah 2, ceck
U_n = 3n − 7
U₃ = 3(3) − 7 = 9 − 7 = 2
Cocok.

e) suku kesembilan
U_n = 3n − 7
U₉ = 3(9) − 7 = 27 − 7 = 20

f) jumlah 12 suku pertama Rumus untuk mencari jumlah suku pertama
-Jika diketahui suku pertama (a) dan suku terakhir yang hendak dihitung gunakan
S_n = ⁿ/₂ (a + U_n)
-Jika diketahui suku pertama dan beda tanpa harus mencari suku terakhir yang hendak dihitung gunakan
S_n = ⁿ/₂ [2a + (n−1)b]

Dengan rumus yang kedua dimana
a = −4
b = 3
n = 12
S_n = ⁿ/₂ [2a + (n−1)b]
S₁₂ = ¹²/₂ [2(−4) + (12−1)3]
S₁₂ = 6 [−8 + 33]
S₁₂ = 6 (25) = 150

Dasar Barisan dan Deret Geometri / Deret Ukur
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut
¹/₂, 1, 2, 4, 8, 16,...
Tentukan:
a) suku pertama deret di atas
b) rasio
c) Rumus suku ke-n setelah itu cocokkan dengan menggunakan suku ketiga
d) jumlah 10 suku pertama dari deret di atas

Pembahasan
a) suku pertama deret di atas
Suku pertama adalah a = ¹/₂

b) rasio
Mencari rasio pada deret geometri dengan membagi suatu suku ke-n dengan suku sebelumnya. Misalkan diambil suku keempat (4), maka dibagi dengan suku ketiga (2)
r = ⁴ / ₂ = 2

c) Rumus suku ke-n setelah itu cocokkan dengan menggunakan suku ketiga
Rumus umum dari deret geometri adalah
U_n = arⁿ⁻¹
Dengan data yang sudah diperoleh di atas maka
U_n = ¹/2(2)ⁿ⁻¹
Cocokkan dengan n = 3
U₃ = ¹/₂(2)³⁻¹
U₃ = ¹/₂(2)²
U₃ = ¹/₂ (4) = 2

d) jumlah 10 suku pertama dari deret di atas
Rumus Umum mencari jumlah hingga n suku



Rumus yang pertama digunakan jika rasio lebih dari 1, rumus kedua jika rasio kurang dari satu. Dengan rumus yang pertama:
n = 10
a = ¹/₂
r = 2


Lebih lengkap tentang barisan aritmetika dan pola bilangan.
Selamat Belajar!

BAB VI - PERBANDINGAN SENILAI DAN BERBALIK NILAI

Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
Diberikan sebuah barisan aritmetika sebagai berikut:
− 4, −1, 2, 5, 8, .....
Tentukan:
a) suku pertama
b) beda
c) jenis barisan
d) rumus umum suku ke-n kemudian cocokkan rumus dengan suku ketiga
e) suku kesembilan
f) jumlah 12 suku pertama
Pembahasan
a) suku pertama
a = −4

b) beda
b = U₂ − U₁
b = −1 −(−4)
b = 3

c) jenis barisan
Barisan aritmetika naik

d) rumus umum suku ke-n
U_n = a + (n−1) b
U_n = −4 + (n−1) 3
U_n = −4 + 3n − 3
U_n = 3n − 7

Suku ketiga adalah 2, ceck
U_n = 3n − 7
U₃ = 3(3) − 7 = 9 − 7 = 2
Cocok.

e) suku kesembilan
U_n = 3n − 7
U₉ = 3(9) − 7 = 27 − 7 = 20

f) jumlah 12 suku pertama Rumus untuk mencari jumlah suku pertama
-Jika diketahui suku pertama (a) dan suku terakhir yang hendak dihitung gunakan
S_n = ⁿ/₂ (a + U_n)
-Jika diketahui suku pertama dan beda tanpa harus mencari suku terakhir yang hendak dihitung gunakan
S_n = ⁿ/₂ [2a + (n−1)b]

Dengan rumus yang kedua dimana
a = −4
b = 3
n = 12
S_n = ⁿ/₂ [2a + (n−1)b]
S₁₂ = ¹²/₂ [2(−4) + (12−1)3]
S₁₂ = 6 [−8 + 33]
S₁₂ = 6 (25) = 150

Dasar Barisan dan Deret Geometri / Deret Ukur
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut
¹/₂, 1, 2, 4, 8, 16,...
Tentukan:
a) suku pertama deret di atas
b) rasio
c) Rumus suku ke-n setelah itu cocokkan dengan menggunakan suku ketiga
d) jumlah 10 suku pertama dari deret di atas

Pembahasan
a) suku pertama deret di atas
Suku pertama adalah a = ¹/₂

b) rasio
Mencari rasio pada deret geometri dengan membagi suatu suku ke-n dengan suku sebelumnya. Misalkan diambil suku keempat (4), maka dibagi dengan suku ketiga (2)
r = ⁴ / ₂ = 2

c) Rumus suku ke-n setelah itu cocokkan dengan menggunakan suku ketiga
Rumus umum dari deret geometri adalah
U_n = arⁿ⁻¹
Dengan data yang sudah diperoleh di atas maka
U_n = ¹/2(2)ⁿ⁻¹
Cocokkan dengan n = 3
U₃ = ¹/₂(2)³⁻¹
U₃ = ¹/₂(2)²
U₃ = ¹/₂ (4) = 2

d) jumlah 10 suku pertama dari deret di atas
Rumus Umum mencari jumlah hingga n suku



Rumus yang pertama digunakan jika rasio lebih dari 1, rumus kedua jika rasio kurang dari satu. Dengan rumus yang pertama:
n = 10
a = ¹/₂
r = 2

BAB VI - PERBANDINGAN SENILAI DAN BERBALIK NILAI

Contoh 1

Umur Wulan dibanding umur Andi = 2 : 3 selisih umur Wulan dan Andi adalah 15 tahun. Berapa umur Wulan dan Andi?

Jawab:
Selisih perbandingan umur Wulan dan Andi yaitu 3 – 2 = 1. Selisih umur sebenarnya adalah 15 tahun. Jadi umur Wulan 2/1 x 15 tahun = 30 tahun
Sedangkan umur Andi = 3/1 x 15 = 45 tahun





Contoh 2

Harga seekor sapi Rp 2.000.000,00 dan seekor kambing Rp 450.000,00. Tentukan perbandingan harga seekor sapi dan seekor kambing!

Jawab:
Harga seekor sapi : Harga Seekor Kambing = Rp 2.000.000.,00 : Rp 450.000,00 = 40 : 9




Perbandingan terdiri dari dua macam, yaitu perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai

•  Perbandingan Senilai

Perbandingan dikatakan sebagai perbandingan senila adalah jika dua perbandingan tersebut memiliki harga yang sama.



Perhatikan hubungan antara jumlah buku dan harga buku.

Dari contoh diatas perbandingan antara jumla buku dan harga buku selalu sama, maka dikatakan perbandingan tersebut selisih perbandingan yang senilai



 Contoh 2

Jika harga 2 kg bawang merah adalah Rp 5.000,00, tentukan 4 kg bawang merah.

Jawab:

• Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan dikatakan perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan tersebut selalu tetap (konstan) walaupun perbandingannya dibalik.

Contoh 1

Sebanyak 150 ekor sapi dapat menghabiskan persediaan makanan yang ada dalam waktu 2 bulan. Jika 50 ekor sapi telah di jual, berapa hari lagi persediaan makanan akan habis.?

Jawab:
2 bulan =30 hari
Sapi yang ada setelah dijual sebanyak 50 ekor adalah = 100 ekor

Jadi persediaan makanan akan habis 90 hari lgi.


Catatan:
Jika besaran yang akan dibandingkan tidak sejenis atau satuannya tidak sama, Anda harus membuat satuannya sama terlebih dahulu.